Question

13．已知函數(shù)f（x）=|lg（x-1）|，若1＜a＜b且f（a）=f（b），則a+2b的取值范圍為（　�。�

• A． $（{3+2\sqrt{2}，+∞}）$
• B． $[{3+2\sqrt{2}，+∞}）$
• C． （6，+∞）
• D． [6，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)的可知：函數(shù)f（x）=|lg（x-1）|，若1＜a＜b且f（a）=f（b），可得$lo{g}_{\frac{1}{10}}（a-1）=lg（b-1）$，即$\frac{1}{a-1}=b-1$，可得a，b的關(guān)系，利用基本不等式求解a+2b的取值范圍

解答 解：函數(shù)f（x）=|lg（x-1）|，
∵1＜a＜b且f（a）=f（b），
則b＞2，1＜a＜2，
∴$lo{g}_{\frac{1}{10}}（a-1）=lg（b-1）$，即$\frac{1}{a-1}=b-1$，
可得：ab-a-b=0．
那么：a=$\frac{b-1}$．
則a+2b=$\frac{b-1}+2b$=$\frac{2^{2}-b}{b-1}=\frac{2（b-1）^{2}+3（b-1）+1}{b-1}$=$2（b-1）+\frac{1}{b-1}+3$$≥2\sqrt{2}+3$，當(dāng)且僅當(dāng)b=$\frac{\sqrt{2}}{2}+1$時(shí)取等號(hào)．
∵b＞2
∴a+2b=$\frac{b-1}+2b$＞6．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式的綜合運(yùn)用，屬于函數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用題．注意體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在本題中的運(yùn)用．