Question

已知數(shù)列（0，2）滿足首項為a₁=2，a_n+1=2a_n，k（2e²）=15-2e²＞0．設(shè)b_n=3log₂a_n-2k（2e²）=15-2e²＞0，數(shù)列{c_n}滿足．c_n=a_nb_n
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}成等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得an=a1qn-1=2ⁿ，bn=3log22n-2，b_n=3n-2，由此能證明{b_n}為首項為1，公差為3的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由c_n=a_nb_n=（3n-2）•2ⁿ，利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

解答： （Ⅰ）證明：由已知得an=a1qn-1=2ⁿ，
bn=3log22n-2，
∴b_n=3n-2，
∵b_n+1-b_n=3，b₁=3-2=1，
∴{b_n}為首項為1，公差為3的等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：c_n=a_nb_n=（3n-2）•2ⁿ，
S_n=1•2+4•2²+7•2³+…+（3n-2）•2ⁿ，①
2S_n=1•2²+4•2³+7•2⁴+…+（3n-5）•2ⁿ+（3n-2）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-S_n=2+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n-2）•2^n-1
=3+3•

4(1-2n-1)

1-2

-（3n-2）•2ⁿ⁺¹
=-10+（5-3n）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=10-（5-3n）•2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．