Question

11．在菱形ABCD中，A=60°，AB=$\sqrt{3}$，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P-BD-C的大小為$\frac{2π}{3}$，則三棱錐P-BCD的外接球體積為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$π
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$π
• C． $\frac{7\sqrt{7}}{6}$π
• D． $\frac{7\sqrt{7}}{2}$π

Answer 1

分析 取BD中點(diǎn)E，連接AE，CE，則∠AEC=$\frac{2π}{3}$，AE=CE=$\frac{3}{2}$，建立方程組，求出三棱錐P-BCD的外接球的半徑，即可求出三棱錐P-BCD的外接球體積．

解答 解：取BD中點(diǎn)E，連接AE，CE，則∠PEC=$\frac{2π}{3}$，PE=CE=$\frac{3}{2}$
設(shè)△BCD的外接圓的圓心與球心的距離為h，
三棱錐P-BCD的外接球的半徑為R，則$\left\{\begin{array}{l}{{R}^{2}=1+{h}^{2}}\\{（\frac{3\sqrt{3}}{4}-h）^{2}+（\frac{5}{4}）^{2}={R}^{2}}\end{array}\right.$，
∴R=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱錐P-BCD的外接球體積為$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{7}}{2}）^{3}$=$\frac{7\sqrt{7}}{6}π$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查三棱錐P-BCD的外接球體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定三棱錐P-BCD的外接球的半徑是關(guān)鍵．