Question

1．已知四邊形ABCD中，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=-$\sqrt{3}$，向量$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$的夾角為30°，則|$\overrightarrow{AC}$|的最大值等于（　�。�

Answer 1

分析 由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義求得＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞和＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞的值，再根據(jù)＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞+＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞=180°，故四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，則|$\overrightarrow{AC}$|的最大值為該圓的直徑2R．由余弦定理求得BD，由正弦定理求得2R的值．

解答 解：由題意可得$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$•cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞=-$\sqrt{3}$，∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞=150°．
由向量$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$的夾角為30°，可得＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞=30°，
∴＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$＞+＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞=180°，故四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，則|$\overrightarrow{AC}$|的最大值為該圓的直徑2R．
△ABD中，由余弦定理可得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos150°=4+2$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{3}$+1．
△ABD中，由正弦定理可得2R=$\frac{BD}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$+2，
故AC的最大值為2$\sqrt{3}$+2．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，判斷四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．