Question

17．已知a+b=1，a＞0，b＞0．
（1）求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值；
（2）若不等式$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$≥|2m-3|對(duì)任意a，b恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用乘1法，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）（a+b），展開(kāi)后，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值；
（2）由恒成立思想可得|2m-3|≤9，再由絕對(duì)值不等式的解法，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由a+b=1，a＞0，b＞0，
可得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）（a+b）=5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{4a}$即a=$\frac{1}{3}$且b=$\frac{2}{3}$時(shí)取等號(hào)，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為9；
（2）由$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為9，
不等式$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$≥|2m-3|對(duì)任意a，b恒成立，
可得|2m-3|≤9，
即為-9≤2m-3≤9，解得-3≤m≤6，
即有m的取值范圍是[-3，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用乘1法和基本不等式，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用最值和絕對(duì)值不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．