【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）若，判斷的單調(diào)性；

（Ⅲ）若有兩個零點，求的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）最大值f(e)＝；（Ⅱ）見解析；（III）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求解導函數(shù)有f′(x)＝（x＞0），由導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得當x＝e時，f(x)取得最大值f(e)＝．

（Ⅱ）a=1, ,令，則， ,則. 在x>0時單調(diào)遞減.

（III）令 ，原問題等價于h（x）有兩個零點， ，

結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論可得.

試題解析：

（Ⅰ）f′(x)＝（x＞0），

當x∈(0，e)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；

當x∈(e，＋∞)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，

所以當x＝e時，f(x)取得最大值f(e)＝．

（Ⅱ）a=1, ,令，

，當，

當， ,即，

.故在x>0時單調(diào)遞減.

（III） g(x)有兩個零點等價于h（x）有兩個零點，

由（1）知，

由圖像可知.

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據(jù)此計算出的回歸方程為.

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