Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n為S_n滿足S_n=$\frac{n}{2}$a_n，且a₂≠0，則$\frac{{{S_{2015}}}}{{{S_{2016}}}}$等于（　�。�

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{1007}{1008}$
• C． 2015
• D． 2016

Answer 1

分析 S_n=$\frac{n}{2}$a_n，可得：n=2時(shí)，a₁+a₂=a₂，解得a₁=0．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，利用“累乘求積”可得a_n．即可得出．

解答 解：∵S_n=$\frac{n}{2}$a_n，∴n=2時(shí)，a₁+a₂=a₂，解得a₁=0．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{2}$a_n-$\frac{n-1}{2}$a_n-1，化為：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…$•\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•a₂=$\frac{n-1}{n-2}$$•\frac{n-2}{n-3}$•…•$\frac{3}{2}$•$\frac{2}{1}$•a₂=（n-1）a₂，
∴$\frac{{{S_{2015}}}}{{{S_{2016}}}}$=$\frac{\frac{2015}{2}{a}_{2015}}{\frac{2016}{2}{a}_{2016}}$=$\frac{2015}{2016}×$$\frac{2014{a}_{2}}{2015{a}_{2}}$=$\frac{1007}{1008}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、“累乘求積”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．