Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足na_n+1-（n+1）a_n=n（n+1），n∈N^*，且a₁=2．
（Ⅰ）求證：{$\frac{{a}_{n}}{n}$}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由na_n+1-（n+1）a_n=n（n+1），兩邊同時(shí)除以n（n+1）即可證明，
（Ⅱ）根據(jù)裂項(xiàng)求和即可得到數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（Ⅰ）∵na_n+1-（n+1）a_n=n（n+1），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
∵a₁=2，
∴$\frac{{a}_{1}}{1}$=2，
∴{$\frac{{a}_{n}}{n}$}以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$\frac{{a}_{n}}{n}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1$-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)法求前n項(xiàng)和，屬于中檔題．