Question

1．在二項式（${\frac{1}{2}$+2x）ⁿ的展開式中，前3項的二項式系數(shù)之和等于79，則展開式中x⁴的系數(shù)為$\frac{495}{16}$．

Answer 1

分析 由${∁}_{n}^{0}+{∁}_{n}^{1}+{∁}_{n}^{2}$=79，化簡解出n=12．再利用二項式定理的通項公式即可得出．

解答 解：∵${∁}_{n}^{0}+{∁}_{n}^{1}+{∁}_{n}^{2}$=79，
化為n²+n-156=0，n∈N^*．
解得n=12．
∴$（\frac{1}{2}+2x）^{12}$的展開式中的通項公式T_r+1=${∁}_{12}^{r}（\frac{1}{2}）^{12-r}（2x）^{r}$=2^2r-12${∁}_{12}^{r}$x^r，
令r=4，則展開式中x⁴的系數(shù)=${2}^{-4}×{∁}_{12}^{4}$=$\frac{495}{16}$．
故答案為：$\frac{495}{16}$．

點評 本題考查了二項式定理的性質(zhì)及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．