Question

3．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅，若a_m，a_n滿足$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=8a₁，則$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由等比數(shù)列的性質(zhì)易得m+n=8，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$）（m+n）=$\frac{1}{8}$（10+$\frac{n}{m}$+$\frac{9m}{n}$），由基本不等式求最值可得．

解答 解：∵正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅，
∴q²a₅=qa₅+2a₅，即q²-q-2=0，
解得公比q=2，或q=-1（舍去）
又∵a_m，a_n滿足$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=8a₁，
∴a_ma_n=64a₁²，∴q^m+n-2a₁²=64a₁²，
∴q^m+n-2=64，∴m+n-2=6，即m+n=8，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$）（m+n）=$\frac{1}{8}$（10+$\frac{n}{m}$+$\frac{9m}{n}$）
≥$\frac{1}{8}$（10+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{9m}{n}}$）=2
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{n}{m}$=$\frac{9m}{n}$即m=2且n=6時(shí)取等號(hào)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．