Question

13．如圖，圓O的直徑AB=8，圓周上過點C的切線與BA的延長線交于點E，過點B作AC的平行線交EC的延長線于點P．
（1）求證：BC²=AC•BP；
（2）若EC=2$\sqrt{5}$，求EA的長．

Answer 1

分析 （1）證明：△ACB∽△CBP，即可證明BC ²=AC•BP．
（2）由題意可得EC²=EA•EB=EA（EA+AB），即可解得EA的值．

解答 解：（1）證明：∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°．
又AC∥BP，
∴∠ACB=∠CBP，∠ECA=∠P．
∵EC為圓O的切線，∴∠ECA=∠ABC，∴∠ABC=∠P，
∴△ACB∽△CBP．
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{BP}$，即BC ²=AC•BP．…（4分）
（2）解：∵EC為圓O的切線，EC=2$\sqrt{5}$，AB=8，…（5分）
∴EC²=EA•EB=EA（EA+AB），
∴20=EA（EA+8），
∴EA=2．                      …（6分）

點評 本題考查三角形相似的判定性質(zhì)的運用，考查切割線定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．