Question

18．如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABEF是平行四邊形，DF∥BC，BC=BF=2DF=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)O．
（Ⅰ）求證：ED⊥平面EBC；
（Ⅱ）求二面角E-BD-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)EO，AO，DO，推導(dǎo)出四邊形BFDO是平行四邊形，四邊形AEDO是平行四邊形，從而DE$\underset{∥}{=}$AO，再推導(dǎo)出AO⊥平面EBC，由此能證明ED⊥平面EBC．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-BD-F的平面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)EO，AODO，
∵多面體ABCDEF中，四邊形ABEF是平行四邊形，DF∥BC，BC=BF=2DF=2$\sqrt{2}$，
∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)O，
∴EO⊥底面ABC，AO⊥BC，OA=OB=OC=DF=$\sqrt{2}$，
AE=BF=2$\sqrt{2}$，OE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{8-2}$=$\sqrt{6}$
∴OB$\underset{∥}{=}$DF，∴四邊形BFDO是平行四邊形，∴OD∥BF∥AF，且OD=BF=AE=2$\sqrt{2}$，
∴四邊形AEDO是平行四邊形，∴DE$\underset{∥}{=}$AO，
∵AO⊥BC，且AO⊥EO，BC∩EO=O，∴AO⊥平面EBC，
∴ED⊥平面EBC．
解：（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（0，$\sqrt{2}$，0），D（-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{6}$），E（0，0，$\sqrt{6}$），F(xiàn)（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），
$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{BE}$=（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{BF}$=（-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{6}$），
設(shè)平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{6}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-\sqrt{2}y+\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
設(shè)平面BDF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-\sqrt{2}a-\sqrt{2}b+\sqrt{6}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-\sqrt{2}a+\sqrt{6}c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
設(shè)二面角E-BD-F的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4}•\sqrt{4}}$=$\frac{1}{4}$，
∴二面角E-BD-F的平面角的余弦值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．