Question

2．設(shè)正實(shí)數(shù)m，n，t滿足m²-3mn+4n²-t=0，則當(dāng)$\frac{t}{mn}$取得最小值時(shí)，m+2n-t的最大值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求得t=m²-3mn+4n²，（m，n，t＞0），代入$\frac{t}{mn}$，整理后運(yùn)用基本不等式，可得m=2n，取得最小值，此時(shí)t=mn=2n²，代入m+2n-t，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，可得最大值．

解答 解：m²-3mn+4n²-t=0，可得
t=m²-3mn+4n²，（m，n，t＞0），
即有$\frac{t}{mn}$=$\frac{{m}^{2}-3mn+4{n}^{2}}{mn}$
=$\frac{m}{n}$+$\frac{4n}{m}$-3≥2$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{4n}{m}}$-3=1，
當(dāng)且僅當(dāng)m=2n時(shí)，取得最小值1．
此時(shí)t=mn=2n²，
則m+2n-t=4n-2n²=-2（n-1）²+2，
當(dāng)n=1時(shí)，m+2n-t取得最大值2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意滿足的條件：一正二定三等，同時(shí)考查二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用配方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．