Question

9．已知復(fù)數(shù)z=（a+2i）（1-bi），其中i是虛數(shù)單位．
（1）若z=5-i，求a，b的值；
（2）若z的實部為2，且a＞0，b＞0，求證：$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$≥4．

Answer 1

分析 （1）由復(fù)數(shù)z=（a+2i）（1-bi），又z=5-i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件列出方程組，求解即可得答案；
（2）若z的實部為2，即a+2b=2，由a＞0，b＞0且a+2b=2，得到$\frac{1}{2}$（a+2b）=1，再由基本不等式計算即可證得結(jié)論．

解答 解：（1）由復(fù)數(shù)z=（a+2i）（1-bi），又z=5-i，
得（a+2i）（1-bi）=（a+2b）+（2-ab）i=5-i，
則$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=5}\\{2-ab=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
證明：（2）若z的實部為2，即a+2b=2．
∵a＞0，b＞0且a+2b=2，
∴$\frac{1}{2}$（a+2b）=1，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）（a+2b）
=$\frac{1}{2}（4+\frac{4b}{a}+\frac{a}）$≥$\frac{1}{2}（4+2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}）=4$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4b}{a}=\frac{a}$，即a=1，b=$\frac{1}{2}$時取等號，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$≥4．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了基本不等式的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．