Question

已知向量

a

=（

3

sinx，cosx+sinx），

b

=（2cosx，cosx-sinx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c=

3

，f（C）=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）f（x）=

a

•

b

=2sin（2x+

π

6

），由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）f（C）=2sin（2C+

π

6

）=1，從而可求C=

π

3

，再由余弦定理可求出ab≤3，故有△ABC面積S=

1

2

absinC=

1

2

×

3

2

ab≤

3

4

×3=

3 3

4

．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

，
=2

3

sinxcosx+cos²x-sin²x
=

3

sin2x+cos2x
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=2sin（2x+

π

6

）
故，函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=π．
（2）f（C）=2sin（2C+

π

6

）=1，
sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
2C+

π

6

=

π

6

或

5π

6

，
∵C是內(nèi)角，
∴C=

π

3

，
余弦定理cosC=

a2+b2-c2

2ab

得：
ab=a²+b²-3，
∵a²+b²≥2ab，
∴ab+3≥2ab，
ab≤3，
△ABC面積S=

1

2

absinC=

1

2

×

3

2

ab≤

3

4

×3=

3 3

4

，
△ABC面積最大值S_max=

3 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角形面積公式的綜合應(yīng)用等，屬于中檔題．