Question

2．將正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折成直二面角，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①AB，CD所成的角為60°；
②△ADC為等邊三角形；
③AC⊥BD；            
④AB與平面BCD所成角為60°
其中真命題是①②③（請(qǐng)將你認(rèn)為是真命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 在①中，設(shè)AB=BC=CD=AD=2，取BD中點(diǎn)O，AC中點(diǎn)E，BC中點(diǎn)F，推導(dǎo)出△EFO是等邊三角形，從而得到AB，CD所成的角為60°；在②中，由OA=OC=$\sqrt{2}$，且OA⊥OC，由此能得到△ADC為等邊三角形；在③中，推導(dǎo)出BD⊥面AOC，從而AC⊥BD；在④中，推導(dǎo)出∠ABO是AB與平面BCD所成角，從而得到AB與平面BCD所成角為45°．

解答 解：在①中：∵將正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折成直二面角，得到四面體A-BCD，
設(shè)AB=BC=CD=AD=2，
取BD中點(diǎn)O，AC中點(diǎn)E，BC中點(diǎn)F，連結(jié)AO，CO，OF，OE，EF，
則OA=OC=$\sqrt{2}$，且OA⊥OC，∴OE=$\frac{1}{2}AC$=1，
由三角形中位線(xiàn)定理得OF=$\frac{1}{2}CD=1$，EF=$\frac{1}{2}AB=1$，且OF∥CD，EF∥AB，
∴∠EFO是AB，CD所成的角，
∵OF=EF=OE=1，∴△EFO是等邊三角形，∴∠EFO=60°，
∴AB，CD所成的角為60°，故①正確；
在②中：∵OA=OC=$\sqrt{2}$，且OA⊥OC，∴AC=$\sqrt{2+2}$=2，
∴AC=CD=AD=2，
∴②△ADC為等邊三角形，故②正確；
在③中：∵AB=BC=CD=AD，O是BD中點(diǎn)，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO=O，∴BD⊥面AOC，
∵AC?面AOC，∴AC⊥BD，故③正確；
在④中：∵A-BD-C是直二面角，AO⊥BD，
∴AO⊥平面BDC，∴∠ABO是AB與平面BCD所成角，
∵AO=BO，∴∠ABO=45°，
∴AB與平面BCD所成角為45°，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本昰考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．