Question

11．設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：
（Ⅰ） $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+abc≥2\sqrt{3}$；
（Ⅱ） ${a^2}+{b^2}+{c^2}+{（\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}）^2}≥6\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用綜合法以及基本不等式直接證明 $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+abc≥2\sqrt{3}$；
（Ⅱ）通過a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，結(jié)合基本不等式證明 ${a^2}+{b^2}+{c^2}+{（\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}）^2}≥6\sqrt{3}$．

解答 證明：（Ⅰ）∵a，b，c為正實(shí)數(shù)∴$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}≥3\root{3}{{\frac{1}{{{a^3}{b^3}{c^3}}}}}=\frac{3}{abc}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)．
∵$\frac{3}{abc}+abc≥2\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+abc≥2\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)…（5分）
（Ⅱ）∵a，b，c為正實(shí)數(shù)
∴a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac，
同理  $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}≥\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$，${（\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}）^2}≥$$\frac{3}{ab}+\frac{3}{bc}+\frac{3}{ac}$
∴${a^2}+{b^2}+{c^2}+{（\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}）^2}≥$$ab+bc+ac+\frac{3}{ab}+\frac{3}{bc}+\frac{3}{ac}≥6\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查綜合法以及基本不等式的應(yīng)用，考查不等式的證明，考查邏輯推理能力．