已知△ABC，在AB上取一點M，使AM=
1
3
AB，在AC上取一點N，使AN=
1
3
AC，在CM的延長線上取一點P，使MP=
1
2
CM，在BN的延長線上取一點Q，使NQ=
1
2
BN，試用向量的方法證明P、A、Q三點共線．
考點：向量加減混合運算及其幾何意義
專題：平面向量及應用
分析：根據(jù)題意，畫出圖形，得出MN∥BC∥AP，利用向量的加法幾何意義，表示出向量
AP
、
AQ
，證明向量共線即可．
解答： 解：根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示；
∵AM=
1
3
AB，AN=
1
3
AC，MP=
1
2
CM，NQ=
1
2
BN，
∴MN∥BC∥AP；
∴向量
AP
=
AM
+
MP
=
1
3
AB
+
1
3
CP
，
向量
AQ
=
AN
+
NQ
=
1
3
AC
+
1
3
BQ
；
又∵
CM
+
MB
=
2
3
CP
+
2
3
AB
=
2
3
（
CP
+
AB
）=
BC
，
∴
AP
=
1
2
BC
，
同理
AQ
=
1
2
CB
，
∴
AP
=-
AQ
；
∴A、P、Q三點共線．
點評：本題考查了平面向量的應用問題，也考查了平面幾何中相似比的應用問題，解題時應畫出圖形，結合圖形分析、解答問題，是綜合題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積和體積分別為（　�。� 
A、42π，28π
B、28π，42π
C、24π，28π
D、82π，24π

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若{（x，y）|
x-2y+5≥0
3-x≥0
x+y≥0
}⊆{（x，y）|x2+y2≤m2（m＞0）}，則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
|x-2|-1
log2(x-1)
的定義域為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設實數(shù)x，y滿足
2x+y≥0
x-y≥0
0≤x≤k
，若z=x+2y的最大值為18，則z的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b都是區(qū)間[0，4]內(nèi)任取的一個數(shù)，那么函數(shù)f（x）=
1
3
x3-ax2+b2x+2在x∈R上是增函數(shù)的概率是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．
（I）設
m
=（a，cosB），
n
=（b，cosA），當a≠b且
m
∥
n
時，判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）若4sin2
A+B
2
-cos2C=
7
2
_ ，且c=
7
，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知tanα=-
1
3
，cosβ=
5
5
，α，β∈（0，π）
（1）分別求sinβ，sinα，cosα的值；
（2）求函數(shù)f（x）=
2
sin（x-α）+cos（x+β）的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

cos42°•cos78°+sin42°•cos168°=
 
．

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