Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x+2ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為-1．
（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）證明：當x＞0時，x²+1＜e^x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導數(shù)，求得點A（0，1），可得切線的斜率，解方程可得a=-1；由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進而得到極小值，無極大值；
（Ⅱ）令g（x）=e^x-x²-1，求出導數(shù)，再由（Ⅰ）可得g′（x）＞0，則g（x）在（0，+∞）遞增，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x+2ax，得f'（x）=e^x+2a，
令x=0，可得f（0）=1，
可得y=f（x）在點A（0，1）處的切線斜率為e⁰+2a=-1，
即2a=-2，解得a=-1；
f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2，
當x＞ln2時，可得f′（x）＞0，f（x）遞增；
當x＜ln2時，可得f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（x）在x=ln2處，取得極小值，
且為2-2ln2，無極大值；
（Ⅱ）證明：令g（x）=e^x-x²-1，
則g'（x）=e^x-2x，
由（Ⅰ）得，g（x）在x=ln2處，取得極小值，
且為最小值2-2ln2，
由2-2ln2＞0，
即有g′（x）＞0，
則g（x）在（0，+∞）遞增，
可得g（x）＞g（0）=0，
即當x＞0時，x²+1＜e^x．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運用構造函數(shù)法，求得導數(shù)，判斷單調(diào)性，考查運算化簡能力，屬于中檔題．