Question

20．在四棱錐PABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4
（1）求證：BC⊥平面PBD；
（2）設E為側棱PC上一點且滿足$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PE}$，試求平面EBD與平面PBD夾角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意PD⊥AD，由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，所以BC⊥平面PDB．
（2）$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PE}$，設平面的EBD法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DB}$=0，由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DE}$=0，求解得出$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），運用向量數(shù)量積cos=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BC}|}$．

解答 （1）證明：平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥CD，
∴PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD，如圖，以D為原點距離坐標系Dxyz，
設A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），P（0，0，2），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），
所以$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{DB}$=0，BC⊥DB，
由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
所以BC⊥平面PDB．
（2）平面PBD的法向量為$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，4，-2），
∴$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PE}$，
所以E（0，2，1），
設平面的EBD法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
 $\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，2，1），
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DB}$=0，由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DE}$=0，得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∴cos=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了空間向量在判斷垂直問題中的應用，轉化好直線與直線，平面與平面的垂直問題，利用向量求夾角問題，難度不大，屬于中檔題．