Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x-1}$（x∈（1，5]）
（1）證明函數(shù)的單調(diào)性，
（2）求函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x-1}$在（1，5]遞減，運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，設(shè)出自變量，作差，變形，定符號(hào)和下結(jié)論；
（2）由單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的最小值，無(wú)最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x-1}$在（1，5]遞減，
證明：設(shè)1＜x₁＜x₂≤5，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
由1＜x₁＜x₂≤5，可得x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
可得$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$＞0，
即有f（x₁）＞f（x₂），
可得f（x）在（1，5]遞減；
（2）由（1）可知f（x）=$\frac{2}{x-1}$在（1，5]遞減，
f（x）的最小值為f（5）=$\frac{1}{2}$，無(wú)最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性及證明，以及運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．