Question

18．已知數(shù)列{a_n}，a₄=28，且滿足$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+1}$=n．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）試猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）代值計(jì)算可求出a₁，a₂，a₃的值，
（2）根據(jù)前四項(xiàng)的值可猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行證明即可

解答 解：（1）a₃=15；a₂=6；a₁=1，
（2）猜想得：a_n=n（2n-1）
①由（1）知當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k，k∈N*猜想成立，即a_k=k（2k-1），
∵$\frac{{a}_{k+1}+{a}_{k}-1}{{a}_{k+1}-{a}_{k}+1}$=k$⇒（k-1）{a_{k+1}}=2{k^3}+{k^2}-2k-1=（2k+1）（{k^2}-1）$，
∴a_k+1=（2k+1）（k+1）=[2（k+1）-1]（k+1），
∴當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立
綜合①②得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n（2n-1）．

點(diǎn)評 本題主要考查了遞推關(guān)系，以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．