【題目】已知拋物線G的頂點在原點,焦點在y軸正半軸上,點P(m,4)到其準(zhǔn)線的距離等于5.
(1)求拋物線G的方程;
(2)如圖,過拋物線G的焦點的直線依次與拋物線G及圓x2+(y﹣1)2=1交于A、C、D、B四點,試證明|AC||BD|為定值;
(3)過A、B分別作拋物G的切線l1,l2且l1,l2交于點M,試求△ACM與△BDM面積之和的最小值.
【答案】(1)x2=4y;(2)詳見解析;(3)2.
【解析】
(1)利用拋物線的焦半徑公式求P;(2)設(shè)直線AB方y=kx+1,與拋物線聯(lián)立消去,結(jié)合焦半徑公式化簡從而得到定值;(3)欲求面積之和的最小值,利用直線AB的斜率作為自變量,建立函數(shù)模型,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題.
(1)由題知,拋物線的準(zhǔn)線方程為y+1=0,故1
所以拋物線C的方程為x2=4y.
(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時,直線與拋物線只有一個交點,
故直線AB的斜率一定存在,
設(shè)直線AB方y=kx+1交拋物線C于點A(x1,y1),B(x2,y2),
由拋物線定義知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AC|=y1,|BD|=y2,
由得x2﹣4kx﹣4=0,
顯然△>0,則x1+x2=4k,x1x2=﹣4,
所以y1y21,所以|AC||BD|為定值1.
(3)由x2=4y,yx2, x,
得直線AM方程yx1(x﹣x1)(1),
直線BM方程yx2(x﹣x2)(2),
由(2)﹣(1)得(x1﹣x2)x,
所以x(x1+x2)=2k,∴y=﹣1
所以點M坐標(biāo)為(2k,﹣1),
點M到直線AB距離d2,
弦AB長為|AB|4(1+k2),
△ACM與△BDM面積之和,
S(|AB|﹣2)d(2+4k2)×22(1+2k2),
當(dāng)k=0時,即AB方程為y=1時,△ACM與△BDM面積之和最小值為2.
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【題目】已知拋物線(),其準(zhǔn)線方程,直線過點(),且與拋物線交于、兩點,為坐標(biāo)原點.
(1)求拋物線方程,并注明:的值與直線傾斜角的大小無關(guān);
(2)若為拋物線上的動點,記的最小值為函數(shù),求的解析式.
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【題目】設(shè),命題p:函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增;q:函數(shù)僅在處有極值.
(1)若命題q是真命題,求a的取值范圍;
(2)若命題是真命題,求a的取值范圍.
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【題目】某企業(yè)參加項目生產(chǎn)的工人為人,平均每人每年創(chuàng)造利潤萬元.根據(jù)現(xiàn)實的需要,從項目中調(diào)出人參與項目的售后服務(wù)工作,每人每年可以創(chuàng)造利潤萬元(),項目余下的工人每人每年創(chuàng)造利圖需要提高
(1)若要保證項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來名工人創(chuàng)造的年總利潤,則最多調(diào)出多少人參加項目從事售后服務(wù)工作?
(2)在(1)的條件下,當(dāng)從項目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的時,才能使得項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】連續(xù)投骰子兩次得到的點數(shù)分別為m,n,作向量(m,n),則與(1,﹣1)的夾角成為直角三角形內(nèi)角的概率是_____.
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【題目】某旅游勝地欲開發(fā)一座景觀山,從山的側(cè)面進行勘測,迎面山坡線由同一平面的兩段拋物線組成,其中所在的拋物線以為頂點、開口向下,所在的拋物線以為頂點、開口向上,以過山腳(點)的水平線為軸,過山頂(點)的鉛垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖(單位:百米).已知所在拋物線的解析式,所在拋物線的解析式為
(1)求值,并寫出山坡線的函數(shù)解析式;
(2)在山坡上的700米高度(點)處恰好有一小塊平地,可以用來建造索道站,索道的起點選擇在山腳水平線上的點處,(米),假設(shè)索道可近似地看成一段以為頂點、開口向上的拋物線當(dāng)索道在上方時,索道的懸空高度有最大值,試求索道的最大懸空高度;
(3)為了便于旅游觀景,擬從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設(shè)觀景臺階,臺階每級的高度為20厘米,長度因坡度的大小而定,但不得少于20厘米,每級臺階的兩端點在坡面上(見圖).試求出前三級臺階的長度(精確到厘米),并判斷這種臺階能否一直鋪到山腳,簡述理由?
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【題目】設(shè)拋物線的方程為,其中常數(shù),是拋物線的焦點.
(1)若直線被拋物線所截得的弦長為6,求的值;
(2)設(shè)是點關(guān)于頂點的對稱點,是拋物線上的動點,求的最大值;
(3)設(shè),、是兩條互相垂直,且均經(jīng)過點的直線,與拋物線交于點、,與拋物線交于點、,若點滿足,求點的軌跡方程.
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【題目】如圖1,一藝術(shù)拱門由兩部分組成,下部為矩形的長分別為米和米,上部是圓心為的劣弧,
(1)求圖1中拱門最高點到地面的距離:
(2)現(xiàn)欲以點為支點將拱門放倒,放倒過程中矩形所在的平面始終與地面垂直,如圖2、圖3、圖4所示,設(shè)與地面水平線所成的角為.若拱門上的點到地面的最大距離恰好為到地面的距離,試求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)解關(guān)于x的不等式;
(2)對任意的(﹣1,2),恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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