已知P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC、PD，點(diǎn)E、F、G、H分別是△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.求證：

(1)E、F、G、H四點(diǎn)共面;

(2)平面EFGH∥平面ABCD.

證明：(1)如圖,證存在實(shí)數(shù)λ，u使=λ+u.?

連結(jié)PE、PF、PG、PH并延長(zhǎng)分別交AB、BC、CD、DA于點(diǎn)M、N、Q、R.則M、N、Q、R為ABCD各邊的中點(diǎn)，順次連結(jié)M、N、Q、R所得四邊形為平行四邊形.?

=+=(-)+(-),?

又PE=PM,PF=PN,PG=PQ,PH=PR ,

∴=(Equation.3-Equation.3)+ (-Equation.3)=(+).??

又∵=-=(-Equation.3)=,?

∴=+.?

∴E、F、G、H四點(diǎn)共面.?

(2)證EF、EG∥平面ABCD.?

∵=,=-=(Equation.3-Equation.3)=,?

∴MO∥EG,MN∥EF.?

∴平面EFGH∥平面ABCD.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖，已知P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)．

求證：PD∥平面MAC．

 

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已知P是□ABCD所在平面外一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC、PD，點(diǎn)E、F、G、H分別是△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．求證：

(1)E、F、G、H四點(diǎn)共面；

(2)平面EFGH∥平面ABCD．

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(1)E、F、G、H四點(diǎn)共面;

(2)平面EFGH∥平面ABCD.

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求證:PD∥平面MAC.

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