Question

2．過直線x+y=0上一點(diǎn)P作圓C：（x+1）²+（y-5）²=2的兩條切線l₁，l₂，A，B為切點(diǎn)，當(dāng)CP與直線y=-x垂直時(shí)，∠APB=（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 判斷圓心與直線的關(guān)系，在直線上求出特殊點(diǎn)，利用切線長、半徑以及該點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成直角三角形，求出∠APB的值．

解答 解：顯然圓心C（-1，5）不在直線y=-x上．
由對稱性可知，只有直線y=-x上的特殊點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)與圓心連線垂直于直線y=-x，
從這點(diǎn)做切線才能關(guān)于直線y=-x對稱．
所以該點(diǎn)與圓心連線所在的直線方程為：y-5=x+1即y=6+x，
與y=-x聯(lián)立，可求出該點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，3），
所以該點(diǎn)到圓心的距離為$\sqrt{（5-3）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
由切線長、半徑以及該點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成直角三角形，
又知圓的半徑為$\sqrt{2}$．
所以兩切線夾角的一半的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
所以夾角∠APB=60°
故選：C．

點(diǎn)評 本題是中檔題，考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓相切的關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，常考題型．