Question

12．已知A（1，0，1），B（1，2，1），C（2，2，4），求△ABC的面積．

Answer 1

分析 利用坐標表示 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$，求出 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$夾角的余弦值，從而得出A的正弦值，再計算△ABC的面積．

解答 解：∵A（1，0，1），B（1，2，1），C（2，2，4），
∴$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（1，2，3），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=1×0+2×2+0×3=4，
|$\overrightarrow{AB}$|=2，
|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{14}$；
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{4}{2×\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{14}}{7}$；
即cosA=$\frac{\sqrt{14}}{7}$；
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{35}}{7}$；
△ABC的面積為：
S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|sinA=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{14}$××$\frac{\sqrt{35}}{7}$=$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了空間向量的坐標運算的應用問題，也考查了求三角形的面積問題，是基礎(chǔ)題目．