Question

已知點(diǎn)P（a，a）（a為常數(shù)），點(diǎn)Q（

2

，

2

），若點(diǎn)R在函數(shù)f（x）=

2

x

（x＞0）圖象上移動(dòng)時(shí)不等式|PR|≥|PQ|恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、a≥2

  2

• B、a≤2

  2

• C、-2

  2

  ≤a≤2

  2

• D、a≤-2

  2

  或a≥2

  2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意知，點(diǎn)P（a，a）（a為常數(shù)），點(diǎn)Q（

2

，

2

）均為直線y=x上的點(diǎn)，作出圖形，易知a＜

2

時(shí)，不等式|PR|≥|PQ|恒成立；當(dāng)a≥

2

時(shí)，設(shè)R（x，

2

x

），
通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g（t）=t²-2at+4

2

a-8=（t-a）²+4

2

a-8-a²（t≥2

2

），其對(duì)稱軸方程為t=a，利用二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)分類討論，來(lái)解決函數(shù)恒成立問(wèn)題即可．

解答： 解：∵點(diǎn)P（a，a）（a為常數(shù)），點(diǎn)Q（

2

，

2

）均為直線y=x上的點(diǎn)，點(diǎn)R在函數(shù)f（x）=

2

x

（x＞0）圖象上移動(dòng)，
作圖如下：

由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在射線QM（紅線）上移動(dòng)，即a＜

2

時(shí)，不等式|PR|≥|PQ|恒成立；
當(dāng)a≥

2

時(shí)，設(shè)R（x，

2

x

），
則|PR|=

(x-a)2+( 2 x -a)2

，又|PQ|=|PO|-|OQ|=

2

a-

( 2 )2+( 2 )2

=

2

a-2＞0，
∴不等式|PR|≥|PQ|恒成立?

(x-a)2+( 2 x -a)2

≥

2

a-2恒成立?（x-a）²+(

2

x

-a)2≥2a²-4

2

a+4恒成立；
整理得：(x+

2

x

)2-2a（x+

2

x

）+4

2

a-8≥0恒成立；
令t=x+

2

x

，則t≥2

2

，
構(gòu)造函數(shù)g（t）=t²-2at+4

2

a-8=（t-a）²+4

2

a-8-a²（t≥2

2

），
若

2

≤a≤2

2

，y=g（t）在[2

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
要使g（t）=（t-a）²+4

2

a-8-a²≥0恒成立，只需g（t）_min=g（2

2

）=(2

2

)2-2×2

2

a+4

2

a-8=0≥0成立，顯然成立，
∴

2

≤a≤2

2

；
若a＞2

2

，同理可得，t=a時(shí)y=g（t）取得最小值，即g（t）_min=g（a）=4

2

a-8-a²=-(a-2

2

)2＜0，不合題意；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2

2

；
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，突出等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．