Question

14．已知函數(shù)y=f（x）是定義在[a，b]上的增函數(shù)，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，設(shè)函數(shù)F（x）=[f（x）]²-[f（-x）]²，且F（x）不恒等于0，則對(duì)于F（x）有如下說法：①定義域?yàn)閇-b，b]②是奇函數(shù)；③最小值為0；④在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，其中正確說法的個(gè)數(shù)有2．

Answer 1

分析 根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)，分別結(jié)合函數(shù)定義域，函數(shù)奇偶性和最值和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題：
①，F(xiàn)（x）=[f（x）]²-[f（-x）]²，由a≤x≤b且a≤-x≤b，
而又由0＜b＜-a，
解得-b≤x≤b，即F（x）中，x的取值范圍是-b≤x≤b，即其定義域是[-b，b]，則①正確；
②F（-x）=[f（-x）]²-[f（x）]²=-[f（x）]²-[f（-x）]²=-F（x），且其定義域?yàn)閇-b，b]，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則F（x）為奇函數(shù)，②正確；
③由y=f（x）無零點(diǎn)，假設(shè)f（x）=2^x，則F（x）=2^2x-2^-2x=2^2x-$\frac{1}{{2}^{2x}}$為增函數(shù)，當(dāng)x=-1時(shí)，F(xiàn)（-1）=$\frac{1}{4}-4=-\frac{15}{4}$．則最小值不是0，故③錯(cuò)誤；
④若f（x）為x，滿足是增函數(shù)，但F（x）=x²-x²=0，故F（x）在其定義域內(nèi)不會(huì)單調(diào)遞增，④錯(cuò)誤；
故答案為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、最值等性質(zhì)，判斷②時(shí)，注意要結(jié)合函數(shù)F（x）的定義域．