Question

19．已知數(shù)列{a_n+1-2a_n}（n∈N^*）是公比為2的等比數(shù)列，其中a₁=1，a₂=4．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$} 是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過等比數(shù)列的通項公式可知a_n+1-2a_n=2ⁿ，兩端同除2ⁿ⁺¹即得結(jié)論；
（2）通過（1）知$\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}n$，從而${a_n}=n•{2^{n-1}}$，進(jìn)而利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：由已知得${a_{n+1}}-2{a_n}=（{a_2}-2{a_1}）•{2^{n-1}}={2^n}$，…（2分）
兩端同除2ⁿ⁺¹得：$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}$，
所以數(shù)列$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是以首項為$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列；…（4分）
（2）解：由（1）知$\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}n$，所以${a_n}=n•{2^{n-1}}$，…（6分）
從而${S_n}=1•{2^0}+2•{2^1}+…+n•{2^{n-1}}$，
則2S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，
錯位相減得：$-{S_n}=1•{2^0}+{2^1}+…+{2^{n-1}}-n•{2^n}$，
所以$-{S_n}=\frac{{1-{2^n}}}{1-2}-n•{2^n}$，…（10分）
即${S_n}=（n-1）{2^n}+1$．  …（12分）

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，對表達(dá)式的靈活變形及錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．