Question

9．己知點(diǎn)P（$\frac{5}{2}$，b）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的左、右焦點(diǎn)，Q在線段F₁P上且|PQ|=|PF₂|，$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=λ$\overrightarrow{QP}$，則λ的值是（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 點(diǎn)P（$\frac{5}{2}$，b）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的點(diǎn)，代入解得b．取P$（\frac{5}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}）$．可得|PF₁|=2×5-|PF₂|．再利用$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=λ$\overrightarrow{QP}$，即可得出λ．

解答 解：∵點(diǎn)P（$\frac{5}{2}$，b）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的點(diǎn)，
∴$\frac{25}{4×25}+\frac{^{2}}{9}=1$，
解得b=$±\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴P$（\frac{5}{2}，±\frac{3\sqrt{3}}{2}）$．
取P$（\frac{5}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}）$．
F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）．
|PF₂|=$\sqrt{（\frac{5}{2}-4）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=3．
|PF₁|=2×5-3=7．
∴|PQ|=$\frac{3}{7}$|PF₁|．
∵$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=λ$\overrightarrow{QP}$，
則λ=$\frac{4}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．