Question

4．已知下表為定義域為R的函數(shù)f（x）=ax³+cx+d若干自變量取值及其對應函數(shù)值，為便于研究，相關函數(shù)值非整數(shù)值時，取值精確到0.01．

x	4.25	1.57	-0.61	-0.59	0	0.42	-0.35	0.56	0.26	3.27
y	-226.05	-10.04	0.07	0.03	0	0.20	-0.22	0.03	0.21	-101.63

根據表中數(shù)據解答下列問題：
（1）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0.55，0.6]上是否存在零點，寫出判斷并說明理由；
（2）證明：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0.41，+∞）單調遞減．

Answer 1

分析 （1）根據圖表中f（0）=0求得d=0，進而可判斷出f（-x）=-f（x）函數(shù)為奇函數(shù)，結合f（-0.56）＜0可得f（0.56）＞0，同理得f（0.59）＜0，進而可知f（x）在[0.55，0.6]上必有零點；
（2）根據圖象的趨勢f（-0.35）=-0.22，f（-0.56）=-0.03，f（-0.59）=0.026，f（-0.61）=0.07，可推斷出函數(shù)f（x）在（-∞，-0.35]上單調遞減，根據奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反，可得結論．

解答 解：（1）∵f（0）=0，
∴d=0，
∴f（-x）=-f（x），函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
又∵f（0.56）=-f（-0.56）=0.03＞0，f（0.59）=-f（-0.59）=-0.03＜0，
∴f（x）在[0.55，0.6]上必有零點結論．
（2）∵f（-0.35）=-0.22，f（-0.56）=-0.03，f（-0.59）=0.03，f（-0.61）=0.07，
∴f（x）在（-∞，-0.35]上單調遞減，
根據奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反，
可得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0.35，+∞）單調遞減．
進而函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0.41，+∞）單調遞減．

點評 本題主要考查了函數(shù)零點和單調性，奇偶性的判斷．考查了學生分析推理和解決實際問題的能力．