Question

11．已知函數(shù)F（x）=lnx，f（x）=$\frac{1}{2}$x²+a，a為常數(shù)，直線l與函數(shù)F（x）和f（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)F（x）的圖象的切點的橫坐標是1
（Ⅰ）求直線l的方程和a的值；
（Ⅱ）求證：F（x）≤f（x）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到切線方程，運用切點在曲線上，代入方程，可得a；
（Ⅱ）令H（x）=F（x）-f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，（x＞0），求出導數(shù)，求得單調區(qū)間和極值、最值，即可得證．

解答 （Ⅰ）解：函數(shù)F（x）=lnx的導數(shù)為F′（x）=$\frac{1}{x}$，
f（x）=$\frac{1}{2}$x²+a的導數(shù)為f′（x）=x，
l與函數(shù)F（x）的圖象的切點的橫坐標是1，
則l的斜率為k=1，切點為P（1，0），
即有直線l的方程為y-0=x-1，即為x-y-1=0；
設l與f（x）的圖象相切的切點為（m，n），
即有m=1，n=0，$\frac{1}{2}$+a=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）證明：令H（x）=F（x）-f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，（x＞0），
則H′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，
當0＜x＜1時，H′（x）＞0，H（x）遞增；
當x＞1時，H′（x）＜0，H（x）遞減．
則當x＞0時，H（x）的最大值為H（1）=0，
即有H（x）≤0，
即F（x）≤f（x）成立．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調區(qū)間、極值和最值，同時考查不等式的證明，注意運用導數(shù)求最大值，屬于中檔題．