Question

14．設P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是該橢圓的兩個焦點，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，則△F₁PF₂的面積為3$\sqrt{3}$，△F₁PF₂內(nèi)切圓半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)橢圓的方程求得c，進而求得|F₁F₂|，設出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面積公式求解．由S=$\frac{1}{2}（a+b+c）r$，能求出△F₁PF₂內(nèi)切圓半徑．

解答 解：∵a=5，b=3，∴c=4，即|F₁F₂|=8．
設|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則根據(jù)橢圓的定義可得：t₁+t₂=10①，
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=60°，
∴根據(jù)余弦定理可得：t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=8²②，
由①²-②得t₁•t₂=12，
∴由正弦定理可得：S△F1PF2=$\frac{1}{2}$t1t2•sin60°=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．
∴△F₁PF₂的面積3$\sqrt{3}$．
設△F₁PF₂內(nèi)切圓半徑為r，
∵△F₁PF₂的周長為L=10+8=18，面積為S=$3\sqrt{3}$，
∴r=$\frac{S}{\frac{1}{2}L}$=$\frac{3\sqrt{3}}{9}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：3$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質(zhì)，以及熟練掌握解三角形的有關知識．