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18.判斷函數(shù)y=1x21的單調(diào)性,并證明.

分析 先判斷函數(shù)y在(-∞,-1)和(-1,0)以及(0,1)和(1,+∞)上的單調(diào)性,
再用單調(diào)性的定義證明即可.

解答 解:函數(shù)y=1x21在(-∞,-1)和(-1,0)上是單調(diào)增函數(shù),
在(0,1)和(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù);
證明如下:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2
則f(x1)-f(x2)=1x121-1x221=x2x1x2+x1x121x221,
∵1<x1<x2,∴x2-x1>0,x2+x1>0,(x12-1)(x22-1)>0;
∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2);
∴f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù);
同理可證,f(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(-1,0)以及(0,1)上的單調(diào)性.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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