Question

18．判斷函數(shù)y=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)y在（-∞，-1）和（-1，0）以及（0，1）和（1，+∞）上的單調(diào)性，
再用單調(diào)性的定義證明即可．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$在（-∞，-1）和（-1，0）上是單調(diào)增函數(shù)，
在（0，1）和（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；
證明如下：任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂；
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}-1}$-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}-1}$=$\frac{（{{x}_{2}-x}_{1}）{{（x}_{2}+x}_{1}）}{{{（x}_{1}}^{2}-1）{{（x}_{2}}^{2}-1）}$，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＞0，（${{x}_{1}}^{2}$-1）（${{x}_{2}}^{2}$-1）＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；
同理可證，f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（-1，0）以及（0，1）上的單調(diào)性．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．