Question

8．橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，過F₂作直線交拋物線y²=2x于A、B兩點(diǎn)，射線OA，OB分別交橢圓C₁于點(diǎn)D、E，證明：$\frac{|OD||OE|}{|DE|}$為定值．

Answer 1

分析 設(shè)直線方程為x=my+2，帶入拋物線方程為y²=2x，得y²--2my-4=0，聯(lián)立，根據(jù)條件列式，得出原點(diǎn)到直線DE的距離d=$\frac{|λ|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$為定值，求解即可．

解答 證明：設(shè)過橢圓得F₂（2，0）得直線方程為x=my+2，帶入拋物線方程為y²=2x，得y²-2my-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4
∴x₁x₂+y₁y₂=（my₁+2）（my₂+2）+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4=0
∴OA⊥OB
設(shè)D（x₃，y₃）、E（x₄，y₄），直線DE的方程為x=ty+λ，代入$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1得
（t²+3）y²+2tλy+λ²-6=0，于是y₃+y₄=-$\frac{2tλ}{{t}^{2}+3}$，y₃y₄=$\frac{{λ}^{2}-6}{{t}^{2}+3}$，
從而x₃x₄=$\frac{3{λ}^{2}-6{t}^{2}}{{t}^{2}+3}$，
∵OA⊥OB，∴OD⊥OE，∴x₃x₄+y₃y₄=0，
代入整理得2λ²=3（t²+1），過原點(diǎn)O作直線DE的垂線OM，垂足為M，
∴原點(diǎn)到直線DE的距離d=$\frac{|λ|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$為定值，
∵△DOE為直角三角形，∴$\frac{1}{2}|OD||OE|=\frac{1}{2}|DE|d$，∴$\frac{|OD||OE|}{|DE|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．