Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$mx³+（m+4）x²，g（x）=alnx，其中a≠0，當(dāng)a=8時(shí)，設(shè)F（x）=f′（x）+g（x），討論F（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性判斷原函數(shù)的單調(diào)性，注意要以m進(jìn)行討論．

解答 解：f′（x）=mx²+2（4+m）x，當(dāng)a=8時(shí)，F(xiàn)（x）=mx²+2（4+m）x+8lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
F'（x）=2mx+8+2m+$\frac{8}{x}$=$\frac{2m{x}^{2}+（8+2m）x+8}{x}$，
∵x＞0，∴x+1＞0，
①當(dāng)m≥0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，此時(shí)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)m＜0時(shí)，由F′（x）＞0，得0＜x＜$\frac{4}{m}$，由F′（x）＜0得x＞-$\frac{4}{m}$，
此時(shí)F（x）在（0，-$\frac{4}{m}$）上單調(diào)遞增，在（-$\frac{4}{m}，+∞$）上單調(diào)遞減．
綜上得：
當(dāng)m≥0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）是上單調(diào)遞增；
當(dāng)m＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，-$\frac{4}{m}$）上單調(diào)遞增，在（-$\frac{4}{m}，+∞$）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，分類討論思想，化歸思想．屬于�？碱}型，注意參數(shù)的討論．