Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=-$\frac{2}{3}$，a_n+1=$\frac{-2{a}_{n}-3}{3{a}_{n}+4}$（n∈N⁺）
（1）證明數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是等差數(shù)列并求{a_n}的通項公式．
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}+1}$（n∈N⁺）．求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{-2{a}_{n}-3}{3{a}_{n}+4}$化簡可得$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$=$\frac{1}{\frac{-2{a}_{n}-3}{2{a}_{n}+4}+1}$=$\frac{3{a}_{n}+4}{{a}_{n}+1}$=3+$\frac{1}{{a}_{n}+1}$；從而判斷等差數(shù)列與通項公式；
（2）化簡b_n=$\frac{3n}{{a}_{n}+1}$=n•3ⁿ⁺¹，從而利用錯位相減法求前n項和．

解答 解：（1）證明：∵a_n+1=$\frac{-2{a}_{n}-3}{3{a}_{n}+4}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$=$\frac{1}{\frac{-2{a}_{n}-3}{2{a}_{n}+4}+1}$=$\frac{3{a}_{n}+4}{{a}_{n}+1}$=3+$\frac{1}{{a}_{n}+1}$；
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=3，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是以3為首項，公差為3的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=3n；
∴a_n=$\frac{1}{3n}$-1；
（2）b_n=$\frac{3n}{{a}_{n}+1}$=n•3ⁿ⁺¹，
∴S_n=3²×1+3³×2+…+n•3ⁿ⁺¹，
3S_n=3³×1+3⁴×2+…+n•3ⁿ⁺²，
∴-2S_n=3²+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹-n•3ⁿ⁺²=$\frac{{3}^{2}（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺²，
∴S_n=$\frac{（2n-1）}{4}{3}^{n+2}$+$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了數(shù)列的化簡與應用，同時考查了錯位相減法的應用，屬于中檔題．