7．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+1的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為x0（x0＞0）且f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．（-∞，0）B．（-∞，-$\frac{3\root{3}{2}}{2}$）C．（0，+∞）D．（-∞，-1）

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的極值，令極小值小于零即可求出a的范圍．

解答 解：f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0得x=0或x=-$\frac{2a}{3}$，
∴x0=-$\frac{a}{3}$＞0，∴a＜0．
∴當(dāng)x＜0或x＞-$\frac{2a}{3}$時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜-$\frac{2a}{3}$時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，-$\frac{2a}{3}$）上單調(diào)遞減，在（-$\frac{2a}{3}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）的極大值為f（0）=1，極小值為f（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{4{a}^{3}}{27}+1$．
∵f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，
∴$\frac{4{a}^{3}}{27}+1$＜0．解得a＜-$\frac{3\root{3}{2}}{2}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．

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15．已知△ABC中，a=$\sqrt{13}$，∠A=60°，S△=3$\sqrt{3}$，求b、c的值．

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16．已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，Q （在第一象限）是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若$\overrightarrow{PQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，則QF的長(zhǎng)為$\frac{4}{3}$．

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15．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最大距離與最小距離之差為$4\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A（4，-2），過(guò)原點(diǎn)且斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓交于兩點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2），求△APQ面積的最大值．

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2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且焦距為4$\sqrt{3}$
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且△AOB的面積為4，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

12．已知某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的表面積是（　�。�
A．4B．$\frac{4}{3}$C．7+$\sqrt{5}$D．5+2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

19．請(qǐng)閱讀下列不等式的證法：已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求證：|a1+a2|≤$\sqrt{2}$．
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，
則f（x）=2x2-2（a1+a2）x+a12+a22=2x2-2（a1+a2）x+1．
因?yàn)閷?duì)一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2）2-8≤0，從而得|a1+a2|≤$\sqrt{2}$．
請(qǐng)回答下面的問(wèn)題：
若a1，a2，…，an∈R，a12+a22+…+an2=1，請(qǐng)寫(xiě)出上述結(jié)論的推廣形式，并進(jìn)行證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

16．已知函數(shù)f（x）=4$\sqrt{3}$sinxcosx-4sin2x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值及此時(shí)x的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且對(duì)f（x）定義域中的任意的x都有f（x）≤f（A），若a=2，求$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的最大值．

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17．在極坐標(biāo)系中，已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），直線的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ+1=0，
（Ⅰ）求圓C的面積；
（Ⅱ）直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

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