Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=cosx-$\sqrt{3}sinx$（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）記△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c若f（A-$\frac{π}{3}$）=1，且a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）首先通過三角函數(shù)的恒等變換，把函數(shù)關(guān)系式變形成余弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．
（2）利用（1）求出的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步求出A的大小，在利用正弦定理求出結(jié)果．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=cosx-$\sqrt{3}sinx$
=2（$\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx$）
=$2cos（x+\frac{π}{3}）$．
由于：$0≤x≤\frac{π}{2}$，
所以：$\frac{π}{3}≤x+\frac{π}{3}≤\frac{5π}{6}$
$-\frac{\sqrt{3}}{2}≤cos（x+\frac{π}{3}）≤\frac{1}{2}$
則：函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋篬-$\sqrt{3}$，1]．
（2）由（1）知：f（A-$\frac{π}{3}$）=2cosA=1，
解得：cosA=$\frac{1}{2}$，
由于：0＜A＜π
所以：A=$\frac{π}{3}$
且a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
則：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB，
解得：$sinB=\frac{bsinA}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}}•\frac{\sqrt{3}}{2}=1$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用余弦型函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域，利用函數(shù)的關(guān)系式求A得值，利用正弦定理函數(shù)的正弦值．