Question

8．設(shè)數(shù)集S滿足：若a，b∈S，則a+b∈S，a-b∈S，則稱集合S為閉集合，如整數(shù)集Z，有理數(shù)Q等都是閉集合．
（1）寫出一個閉集合S，要求滿足S?R，且S≠Z，S≠Q(mào)，請加以證明．
（2）求證：對于任意兩個滿足S₁?R，S₂?R的閉集合S₁，S₂，存在c∈R，但c∉S₁∪S₂．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)閉集合的定義舉例即可；（1）根據(jù)閉集合的定義證明即可．

解答 解：（1）對任意無理數(shù)a，集合{x|x=ka，k∈Z}都是閉集合；
證明：設(shè) x₁=k₁a，x₂=k₂a，k₁，k₂∈Z，
x₁+x₂=（k₁+k₂）a∈S，x₁-x₂=（k₁-k₂）a∈S，
∴S={x|x=ka，a是無理數(shù)，k∈Z）是閉集合；
（2）若?c∈R，均有c∈S₁∪S₂，則R?S₁∪S₂，
因此：S₁∪S₂=R，∵S₁?R，S₂?R，
則一定有a∈R，使得a∈S₁，a∈S₂，
一定存在b∈R，b∈S₂，而b∉S₁，
∴a+b∈R，a+b∈S₁∪S₂，
①若a+b∈S₁，a∈S₁，則必有（a+b）-a=b∈S₁，矛盾；
②若a+b∈S₂，b∈S₂，則必有（a+b）-b=a∈S₂，矛盾；
∴假設(shè)不成立，
∴存在c∈R，但c∉S₁∪S₂．

點(diǎn)評 本題考查與集合有關(guān)的新定義，正確理解定義的含義是解決問題的關(guān)鍵．