Question

19．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$．
（1）若cos（2φ-$\frac{π}{3}$）+2sin（φ-$\frac{π}{4}$）sin（φ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，求φ的值；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于$\frac{π}{2}$，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得sin（2φ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍|φ|＜$\frac{π}{2}$，即可解得φ的值；
（2）由周期公式可求ω，求得函數(shù)解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

解答 解：（1）∵cos（2φ-$\frac{π}{3}$）+2sin（φ-$\frac{π}{4}$）sin（φ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$cos2φ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2φ+2×$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×$（sinφ-cosφ）×（sinφ+cosφ）=$\frac{1}{2}$，
∴整理可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2φ-$\frac{1}{2}$cos2φ=sin（2φ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∴解得：2φ-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$，2φ-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$．
∴解得：φ=$\frac{π}{6}$．
（2）∵φ=$\frac{π}{6}$，函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于$\frac{π}{2}$，即：T=2×$\frac{π}{2}$=$π=\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；

點(diǎn)評 此題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．