Question

17．設(shè)函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx，x∈[{0，2π}]$，若0＜a＜1，則方程f（x）=a的所有根之和為（　�。�

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． 2π
• C． $\frac{8π}{3}$
• D． 3π

Answer 1

分析 先進(jìn)行化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），利用三角函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．

解答 解：由輔助角公式得$f（x）=2sin（{x+\frac{π}{6}}）$，
∵x∈[0，2π]，∴f（x）∈[-2，2]，
∵0＜a＜1，∴方程f（x）=α有兩根x₁，x₂，
由對(duì)稱性，有$\frac{{（{{x_1}+\frac{π}{6}}）+（{{x_2}+\frac{π}{6}}）}}{2}=\frac{3π}{2}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{8π}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)根的求解和應(yīng)用，利用輔助角公式結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．