Question

5．與圓（x+2）²+y²=1及圓（x-2）²+y²=4都外切的圓的圓心的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1（x＜0）．

Answer 1

分析 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)P（x，y），半徑為r，兩圓的圓心分別是C₁，C₂，根據(jù)題意可知兩圓心的坐標(biāo)，根據(jù)所求圓與兩個(gè)圓都外切進(jìn)而可得PC₁|和|PC₂|的表達(dá)式，整理可得|PC₂|-|PC₁|=1，根據(jù)雙曲線定義可知P點(diǎn)的軌跡為C₁，C₂為焦點(diǎn)的雙曲線進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可求得雙曲線的方程．

解答 解：設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)P（x，y），半徑為r，兩圓的圓心分別是C₁，C₂，
∵所求圓與兩個(gè)圓都外切，
∴|PC₁|=r+1，|PC₂|=r+2，
即|PC₂|-|PC₁|=1，
根據(jù)雙曲線定義可知P點(diǎn)的軌跡為以C₁，C₂為焦點(diǎn)的雙曲線，2c=4，c=2；2a=1，a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
∴P點(diǎn)的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1（x＜0）．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1（x＜0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查點(diǎn)的軌跡方程及雙曲線的性質(zhì)．常用方法是直接法，定義法，代入轉(zhuǎn)移法等．