Question

13．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B（0，b），且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}=0$，則雙曲線C的離心率為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出A，F(xiàn)的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合a，bc的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A（-a，0），F(xiàn)（c，0），B（0，b），
可得$\overrightarrow{BA}$=（-a，-b），$\overrightarrow{BF}$=（c，-b），
由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}=0$，可得-ac+b²=0，
即有b²=c²-a²=ac，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-e-1=0，
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（負(fù)的舍去）．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查雙曲線的漸近線方程和離心率公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．