Question

已知點(diǎn)N(1,2)，過(guò)點(diǎn)N的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)x²－＝1于A，B兩點(diǎn)，且

(1)求直線(xiàn)AB的方程；

(2)若過(guò)N的另一條直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于C，D兩點(diǎn)，且＝0，那么A，B，C，D四點(diǎn)是否共圓？為什么？

Answer 1

 (1)由題意知直線(xiàn)AB的斜率存在．

設(shè)直線(xiàn)AB：y＝k(x－1)＋2，代入x²－＝1得，

(2－k²)x²－2k·(2－k)x－(2－k)²－2＝0.(*)

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁，x₂是方程(*)的兩根，

∴2－k²≠0且x₁＋x₂＝.

∵，∴N是AB的中點(diǎn)，∴＝1，

∴k(2－k)＝－k²＋2，∴k＝1，

∴AB的方程為y＝x＋1.

(2)將k＝1代入方程(*)得x²－2x－3＝0，

∴x＝－1或x＝3，

不妨設(shè)A(－1,0)，B(3,4)．

∵＝0，∴CD垂直平分AB.

∴CD所在直線(xiàn)方程為y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x，

代入雙曲線(xiàn)方程整理得x²＋6x－11＝0，

令C(x₃，y₃)，D(x₄，y₄)及CD中點(diǎn)M(x₀，y₀)，

則x₃＋x₄＝－6，x₃·x₄＝－11，

|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，

|MA|＝|MB|＝2，

即A，B，C，D到M的距離相等，∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓．