Question

10．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，BD交AC于E．
（Ⅰ）若DE=2，BE=4，試求DC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，O到AC的距離為1，求⊙O的半徑r．

Answer 1

分析 （I）先證明△BCD∽△CED，可得$\frac{DE}{DC}=\frac{DC}{DB}$，從而問題得證；   
（II）OD⊥AC，設(shè)垂足為F，求出CF²=r²-1，利用DC²=CF²+DF²，建立方程，即可求得⊙O的半徑．

解答 （I）證明：連接OD，OC，由已知D是弧AC的中點(diǎn)，可得∠ABD=∠CBD．
∵∠ABD=∠ECD
∴∠CBD=∠ECD
∵∠BDC=∠EDC
∴△BCD∽△CED，∴$\frac{DE}{DC}=\frac{DC}{DB}$，
∴CD²=DE•DB，
∵DE=2，BE=4，
∴DC=2$\sqrt{3}$；    …（5分）
（Ⅱ）解：∵D是弧AC的中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，設(shè)垂足為F，OF=1，
在Rt△COF中，OC²=CF²+OF²，即CF²=r²-1
在Rt△CFD中，DC²=CF²+DF²，
∴12=r²-1+（r-1）²，解得r=3   …（10分）

點(diǎn)評 本題是選考題，考查幾何證明選講，考查三角形的相似與圓的性質(zhì)，屬于中檔題．