Question

9．關(guān)于函數(shù)f（x）=x²（lnx-a）+a，給出以下4個(gè)結(jié)論：
①?a＞0，?x＞0，f（x）≥0；
②?a＞0，?x＞0，f（x）≤0；
③?a＞0，?x＞0，f（x）≥0；
④?a＞0，?x＞0，f（x）≤0．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3．

Answer 1

分析 ①令a=$\frac{1}{2}$，進(jìn)行驗(yàn)證即可；
②令a=5，通過驗(yàn)證結(jié)論成立；
③當(dāng)a=5時(shí)，舉反例x=5時(shí)，不滿足條件；
④求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)存在極值進(jìn)行判斷．

解答 解：①當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，則f（x）=x²（lnx-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
此時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x（lnx-$\frac{1}{2}$）+x²•$\frac{1}{x}$=2xlnx-x+x=2xlnx，
由f′（x）=0得，x=1，則當(dāng)x＞1時(shí)，則f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)遞增，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，則f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)遞減，故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值同時(shí)也是最小值f（1）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，
則對(duì)?x＞0，f（x）≥f（1）=0；故①正確，
②當(dāng)a=5，則f（x）=x²（lnx-5）+5，則f（e）=e²（lne-5）+5=-4e²+5＜0，故②?a＞0，?x＞0，f（x）≤0，成立．
③由②知當(dāng)a=5時(shí)，?x=e，滿足e＞0，但f（e）＜0，故③?a＞0，?x＞0，f（x）≥0不成立，故③錯(cuò)誤．
④函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x（lnx-a）+x²•$\frac{1}{x}$=2x（lnx-a）+x=x（2lnx-2a+1）=2x（lnx+$\frac{1}{2}$-a）．
由f′（x）=0，則lnx+$\frac{1}{2}$-a=0，即lnx=a-$\frac{1}{2}$，
即?a＞0，函數(shù)f（x）都存在極值點(diǎn)，即?x＞0，f（x）≤0成立，故④正確，
綜上正確是有①②④，共3個(gè)
故答案為：3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，利用特殊值法和排除法是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．