Question

12．對任意兩個非零的平面向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$，定義$\overrightarrow a*\overrightarrow b=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{\overrightarrow b•\overrightarrow b}$；若平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$|{\overrightarrow a}|＞|{\overrightarrow b}|＞0$，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），且$\overrightarrow a*\overrightarrow b，\overrightarrow b*\overrightarrow a$都在集合{$\frac{n}{2}$|n∈Z}中，則$\overrightarrow a*\overrightarrow b$=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 先求出$\overrightarrow{a}$﹡$\overrightarrow$=$\frac{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cosθ}{|b{|}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}cosθ$=$\frac{n}{2}$，n∈z，$\overrightarrow﹡\overrightarrow{a}=\frac{m}{2}，m∈z$再由$co{s}^{2}θ=\frac{nm}{4}∈（\frac{1}{2}，1）$ 故 n=3，m=1 從而求出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}﹡\overrightarrow=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{\overrightarrow•\overrightarrow}=\frac{|\overrightarrow{a}\overrightarrow{||b}|cosθ}{|\overrightarrow{|}^{2}}=\frac{|\overrightarrow{a}|}{\overrightarrow{|b}|}cosθ$=$\frac{n}{2}$，n∈z，
同理可得：$\overrightarrow﹡\overrightarrow{a}=\frac{m}{2}，\\;\\;m∈z$．  m∈z．
再由$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），知$co{s}^{2}θ=\frac{nm}{4}∈（\frac{1}{2}，1）$，故mn=3，m，n∈z．
∵$|\overrightarrow{a}|＞|\overrightarrow|＞0$
∴$0＜\overrightarrow﹡\overrightarrow{a}=\frac{m}{2}＜1$
∴m=1，n=3
∴$\overrightarrow{a}﹡\overrightarrow=\frac{3}{2}$
故答案為B．

點評 本題主要考查兩個向量的數量積的定義，求得 m=1，n=3，是解題的關鍵，屬于中檔題．