Question

6．已知△ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，∠B=$\frac{π}{6}$，AC=2，M為AB中點(diǎn)，將△CBM沿CM折起，使二面角B-CM-A的大小為$\frac{π}{3}$，則AB=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作出平面圖形，然后找出二面角的平面角，通過三角形的解法求解AB．

解答 解：△ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，∠B=$\frac{π}{6}$，AC=2，M是AB的中點(diǎn)，三角形ACM是正三角形，
取CM的中點(diǎn)為：O，連結(jié)AO并延長交CB于D，可知AO⊥CM，OD⊥CM，
則AC=AM=CM=MB=2，CO=OM=1，CB=2$\sqrt{3}$，AO=$\sqrt{3}$，CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
沿直線CM將CBM折起，在折疊后的圖形中，
∵AO⊥CM，OD⊥CM，
∴∠AOD就是二面角B-CM-A的平面角，可知α=$\frac{π}{3}$．
∴AD=$\sqrt{3+\frac{1}{3}-2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$
∴cos∠ACD=$\frac{4+\frac{4}{3}-\frac{7}{3}}{2×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$
∴AB=$\sqrt{4+12-2×2×2\sqrt{3}×\frac{3\sqrt{3}}{8}}$=$\sqrt{7}$，
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．