Question

11．關(guān)于x的方程10^2x-4×10^x+2t=0有兩不等實(shí)根，則$\frac{{t}^{2}+t+4}{t+1}$的取值范圍是（　�。�

• A． （0，3）
• B． （-∞，3]
• C． [3，+∞）
• D． [3，4）

Answer 1

分析 利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，求出t的取值范圍，然后利用分式函數(shù)的性質(zhì)，再利用分子常數(shù)化，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵10^2x-4×10^x+2t=0，
∴設(shè)m=10^x，m＞0，
得方程等價(jià)為m²-4m+2t=0有兩個(gè)不同的正根，
則$\left\{\begin{array}{l}{△=16-8t＞0}\\{{m}_{1}+{m}_{2}=4＞0}\\{{m}_{1}{m}_{2}=2t＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{t＜2}\\{t＞0}\end{array}\right.$，即0＜t＜2，
則$\frac{{t}^{2}+t+4}{t+1}$=$\frac{（t+1）^{2}-（t+1）+4}{t+1}$=t+1+$\frac{4}{t+1}$-1，
設(shè)a=t+1，則1＜a＜3，則t+1+$\frac{4}{t+1}$-1=a+$\frac{4}{a}$-1
則函數(shù)y=a+$\frac{4}{a}$-1在（1，2]上單調(diào)遞減，在[2，3）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)取得最小值y=2+2-1=3，
當(dāng)a=1時(shí)，y=1+4-1=4，
當(dāng)a=3時(shí)，y=3+$\frac{4}{3}$-1=$\frac{10}{3}$，
即3≤y＜4，
即$\frac{{t}^{2}+t+4}{t+1}$的取值范圍是[3，4），
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法和轉(zhuǎn)化法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程以及對勾函數(shù)形式是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算能力．